3.1 areas

3.1 Areas

1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , el área = 2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , el área =|| 3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c,  b ; el área es la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cambiando de signo esta última que es negativa. Según lo anterior para calcular el área comprendida entre una curva y = f(x) y el eje OX y las rectas x=a, x=b  se procede así: 1. Se resuelve la ecuación f(x)=0 para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje OX. 2. Se ordenan de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x2<x3<b. 3. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx. 4. Se calculan G(a), G(x1), G(x2), G(x3), G(b). 5. Las áreas de los recintos son los valores absolutos de las diferencias G(a)-G(x1), G(x2)-G(x1), G(x3)-G(x2), G(b)-G(x3). 6. El área pedida es la suma de las áreas de los recintos.

En esta escena vamos a calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = x3-5x2+6x y el eje X y las rectas x=-1, x=4. Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso. Modificando  los pulsadores f3,  f2,  f1,  f0,  a,  b se puede calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = f3x3+f2x2+f1x+f0 y el eje X y las rectas x=a, x=b.

EJEMPLOS:

Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.

Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es

A = [f(x) - g(x)] x

= [(x2+ 2) - (-x)] x

A = 
[f(x) - g(x)] dx

= [(x2 + 2) - (-x)]dx

= [x3/3 + x2/2 + 2x]10

= 1/3 + ½ + 2 = 

Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.

Aplicación

El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:

f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9

Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma:

g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16

Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.

Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:

f(t) g(t)