lunes, 4 de julio de 2011

3.1.1 area bajo la grafica de una funcion

3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion


Área bajo la grafica de una función continua

Sea 
\mathrm{f} una función continua en el intervalo   
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right),   tal que 
\mathrm{f} toma solo valores NO negativos en dicho intervalo   ( 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right) ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = a   y   
x = b,   la grafica de la función 
\mathrm{f} y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:



Imagen:areaBajoGrafica.png


Este area es el valor de la integral entre 
a y 
b de 
\mathrm{f} y la denotamos por:



\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo   
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)   en 
n  intervalos de la misma longitud (   
\frac{b - a}{n}   ). Los limites de estos intervalos mas pequeños son:



x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b

donde  
x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i.

Para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n   contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo   
\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)   y cuya altura es de longitud   
\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right).

Haciendo esto para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n,   terminamos con 
n  rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de 
\mathrm{f} que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea 
n mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x.

Así, cuando  
n = 2:



Imagen:areaRectangulos2.png


uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   
n = 4:



Imagen:areaRectangulos4.png


Llamemos   
S_n   a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:



S_n \longrightarrow \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}


Es decir,   
S_n   tiende a  
</p>
<pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>   cuando el número de rectangulos, 
n , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función 
\mathrm{f} toma valores NO negativos en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right).   ¿Que pasaría si 
\mathrm{f} tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = a   y   
x = b,   la grafica de la función 
\mathrm{f} y el eje X?



Imagen:areaSobreGrafica.png


Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso   
\mathrm{f} \ge 0    seria aplicable al caso   
0 \ge \mathrm{f}    , pero ahora:



S_n \longrightarrow -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

y el area sobre la grafica de la función es



-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

siendo la integral definida   
\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}   NO positiva porque   
0 \ge \mathrm{f} \left(  \, x \, \right), \, \forall x \in \left(  \, a, \, b \,
\right).

ejemplo Consideremos la función característica de los racionales 1_{\mathbb{Q}} definida sobre el intervalo [0,1]. Esta función no es continua en ningún punto de su dominio, ¿será integrable?


  • 1_{\mathbb{Q}} no es integrable Riemann sobre [0,1]: no importa cuán fina sea una partición del intervalo [0,1], cualquier subintervalo contendrá al menos un número racional y otro número irracional, ya que ambos conjuntos son densos en los reales. Por tanto, cualquier suma superior será 1, así como el ínfimo de todas las sumas superiores (suma superior de Riemann-Darboux) y cualquier suma inferior será 0, igual que el supremo de todas las sumas inferiores (suma inferior de Riemann-Darboux). Si el supremo y el ínfimo son distintos la integral de Riemann no existe.
  • 1_{\mathbb{Q}}  es integrable Lebesgue sobre [0,1]: dado que es la función indicadora de los números racionales, por definición
 \int_{[0,1]} 1_{\mathbb{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0,
ya que \mathbb{Q} es numerable.

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