La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
EJEMPLO
Encontrar la longitud de arco para la función dada: para el intervalo de [0,1].
derivamos la función y obtenemos lo siguiente luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto:
operamos de la siguiente manera:
hacemos una substitucion:
sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del calculo:
sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del calculo:
la longitud de arco es 6.10
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