lunes, 4 de julio de 2011

3.2 longitud de curvas

Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

EJEMPLO

Encontrar la longitud de arco para la función dada: y = 1 + 6x^{\frac{3}{2}} para el intervalo de [0,1].
derivamos la función y obtenemos lo siguiente y'= 9x^{\frac{1}{2}} luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto:  \int_{0}^{1}\sqrt{1+(9x^{\frac{1}{2}}})^{2}dx
operamos de la siguiente manera:
 \int_{0}^{1}\sqrt{1+81x} dx hacemos una substitucion:
 u=1+81x
du=81dx
 \frac{1}{81}\int_{1}^{82}u^{\frac{1}{2}} dx sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del calculo:
 \frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|^{82}_{1} \right ]= 
\frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}(82)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} \right ] =6.10  
la longitud de arco es 6.10

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