3.1 Areas

1. Si f(x)>0 en el intervalo [a,b] , el área = 2. Si f(x)<0 en el intervalo [a,b] , el área =|| 3. Si f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c, b ; el área es la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cambiando de signo esta última que es negativa.

Según lo anterior para calcular el área comprendida entre una curva y = f(x) y el eje OX y las rectas x=a, x=b se procede así:

1. Se resuelve la ecuación f(x)=0 para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje OX. 2. Se ordenan de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x2<x3<b. 3. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx. 4. Se calculan G(a), G(x1), G(x2), G(x3), G(b). 5. Las áreas de los recintos son los valores absolutos de las diferencias G(a)-G(x1), G(x2)-G(x1), G(x3)-G(x2), G(b)-G(x3). 6. El área pedida es la suma de las áreas de los recintos.

En esta escena vamos a calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = x³-5x²+6x y el eje X y las rectas x=-1, x=4. Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso. Modificando los pulsadores f3, f2, f1, f0, a, b se puede calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = f3x³+f2x²+f1x+f0 y el eje X y las rectas x=a, x=b.

EJEMPLOS:

Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.

Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es

A = [f(x) - g(x)] x

= [(x2+ 2) - (-x)] x

A =

[f(x) - g(x)] dx

= [(x2 + 2) - (-x)]dx

= [x3/3 + x2/2 + 2x]10

= 1/3 + ½ + 2 =

Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.

Aplicación

El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:

f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9

Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma:

g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16

Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.

Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:

f(t) g(t)

3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion

Área bajo la grafica de una función continua

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ en $n$ intervalos de la misma longitud ( $\frac{b - a}{n}$ ). Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .

Así, cuando $n = 2$ :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo $n = 4$ :

Llamemos $S_n$ a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

$S_n \longrightarrow \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

Es decir, $S_n$ tiende a $ <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $ cuando el número de rectangulos, $n$ , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función $\mathrm{f}$ toma valores NO negativos en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ . ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso $\mathrm{f} \ge 0$ seria aplicable al caso $0 \ge \mathrm{f}$ , pero ahora:

$S_n \longrightarrow -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

y el area sobre la grafica de la función es

$-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

siendo la integral definida $\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ NO positiva porque $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ .

ejemplo Consideremos la función característica de los racionales $1_{\mathbb{Q}}$ definida sobre el intervalo

[0,1]

. Esta función no es continua en ningún punto de su dominio, ¿será integrable?

$1_{\mathbb{Q}}$ no es integrable Riemann sobre $[0,1]$ : no importa cuán fina sea una partición del intervalo $[0,1]$ , cualquier subintervalo contendrá al menos un número racional y otro número irracional, ya que ambos conjuntos son densos en los reales. Por tanto, cualquier suma superior será 1, así como el ínfimo de todas las sumas superiores (suma superior de Riemann-Darboux) y cualquier suma inferior será 0, igual que el supremo de todas las sumas inferiores (suma inferior de Riemann-Darboux). Si el supremo y el ínfimo son distintos la integral de Riemann no existe.

$1_{\mathbb{Q}}$ sí es integrable Lebesgue sobre $[0,1]$ : dado que es la función indicadora de los números racionales, por definición

$\int_{[0,1]} 1_{\mathbb{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0,$

ya que $\mathbb{Q}$ es numerable.

°° Calculo Integral °°

lunes, 4 de julio de 2011

3.1 areas

3.1 Areas

3.1.1 area bajo la grafica de una funcion

3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion

Área bajo la grafica de una función continua