3.1.2 area entre las graficas de funciones

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

ejemplos:

calificacion 3.2

practica 3.2

calificacion de la practica del tema 3.2

3.2 longitud de curvas

Longitud de curvas planas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)²=(dx)²+(dy)², de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

EJEMPLO

Encontrar la longitud de arco para la función dada: $y = 1 + 6x^{\frac{3}{2}}$ para el intervalo de [0,1].

derivamos la función y obtenemos lo siguiente $y'= 9x^{\frac{1}{2}}$ luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto: $\int_{0}^{1}\sqrt{1+(9x^{\frac{1}{2}}})^{2}dx$

operamos de la siguiente manera:

$\int_{0}^{1}\sqrt{1+81x} dx$ hacemos una substitucion:
u=1+81x

$\frac{1}{81}\int_{1}^{82}u^{\frac{1}{2}} dx$ sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del calculo:
$\frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|^{82}_{1} \right ]= \frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}(82)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} \right ] =6.10$

la longitud de arco es 6.10

4.2 convergencia

En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, puede adoptar varias formas.

Una sucesión de elementos $\{x_n\}\,$ de un espacio métrico $(M,d\,)$ converge a un elemento $x\in M$ si para todo número $\varepsilon> 0,$ existe un entero positivo $N \,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

(1) $n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.$

En tal caso, se acostumbra escribir

$\lim_{n \to \infty} x_n = x$

o también

$x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty$

o simplemente

$x_n \to x.$

Intuitivamente, esto significa que los elementos $x_n\,$ de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a $x\,$ si $n\,$ es suficientemente grande, ya que $d(x_n,x\,)$ determina la distancia entre $x_n\,$ y $x\,$ . A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.
La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a losespacios con producto interno. En el caso de un espacio normado $(E,\Vert \cdot\Vert),$ la norma $\Vert \cdot\Vert$ induce la métrica $d(x,y):=\Vert y - x\Vert$ para cada $x,y\in E$ ; en el caso de un espacio con producto interno $(E,\langle \cdot, \cdot\rangle),$ el producto interno $\langle \cdot, \cdot\rangle$ induce la norma $\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ para cada $x\in E.$

4.3 serie de potencias

Serie de potencias

Definición

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

$\sum_{n=0}^\infty a_n (x)^n$

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

En el cual el centro es c, y los coeficientes

a n

son los términos de una sucesion.

Ejemplos

La serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty x^n$ es una serie de potenciasabsolutamente convergente si $| x | < 1$ y divergente si $| x | > 1$ ó $| x | = 1$

La serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty (x/n)^n$ es absolutamente convergente para todo $x \in \R$

.4.4 radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:
$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x 0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro

x 0 = 3

tiene la forma:
$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .
Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función

1 / (1 - x)

tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:

| 0 - 1 | = 1

| 3 - 1 | = 2

. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función

e x

puede desarrollarse en series de potencia de

x - 0 = x

, de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .
y esto vale para todo real

x

por eso el radio de convergencia será infinito.

°° Calculo Integral °°

lunes, 4 de julio de 2011